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[工艺与设备] 悬链线各点位置的确定
P:2010-02-03 08:58:02
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悬链线问题 ——吕建冬(学号0910247) P92 2-13
如本题图所示,在两根登高的立柱之间悬挂均匀重绳AB.绳中点C处的张力比它本身的重量大小如何 试分析这与悬点的角度θ有什么关系.
将绳子从中间分开只研究左半边,从整体受力来分析这半段绳只受竖直向下的重力G和与竖直方向夹角为θ的柱的支持力T以及最低点的右半段绳子给的水平向右的张力H,三个力平衡.
所以 Tcosθ=G Tsinθ=H 即 H=Gtanθ
两个问题都可以解决了
但是 θ角的大小与什么有关 绳子各点的张力大小又如何呢
首先判断其函数表达式 看起来像抛物线 吊根线验证一下 画出各点切线
-2.38 1
斜率
位置1.7 0.9 0.6 0 -0.6 -1 7 6 5 4 3 2
虽然存在误差 但看来好像不是二次函数 只好计算一下 我们只关注其左半段
最低点处受水平向右的拉力H,左悬挂点处受一个斜向上的拉力T,
设T和水平方向夹角为θ,绳子一半的质量为m,
受力分析有: Tsinθ=mg Tcosθ=H, tanθ=dy/dx=mg/H; mg= η s;
其中s是左半段绳子的长度,η是绳子密度,
dy/dx=η s/H; s=∫√(1+dy^2/dx^2)*dx;
所以dy/dx= η ∫√(1+dy^2/dx^2)*dx/H 令p=dy/dx
p'= (η/H)*√(1+p^2)=dp/dx 得∫dp/√(1+p^2)=∫η/H*dx
得ln[p+√(1+p^2)]=ηx/H+C 当x=0时 dy/dx=p=0 得C=0
整理得ln[p+√(1+p^2)]=ηx/H 1+p^2=e^(2ηx/H)-2pe^(ηx/H)+p^2
即p=[e^(ηx/H)-e^(-ηx/H)]/2=dy/dx 得y=H/(2η)*[e^(ηx/H)+e^(-ηx/H)]
令a=H/η 则y=a* [e^(x/a)+e^(-x/a)]/2= a*cosh(x/a).
这样悬链线的坐标方程就确定了
由tanθ=dy/dx=mg/H=η s/H 和p=[e^(ηx/H)-e^(-ηx/H)]/2=dy/dx
可知 s=(H/η)[e^(ηx/H)-e^(-ηx/H)]/2=ash(x/a)
于是现有等式
Tsinθ=mg Tcosθ=H tanθ=dy/dx=mg/H=ηs/H
p=[e^(ηx/H)-e^(-ηx/H)]/2=sh(x/a) s=(H/η)[e^(ηx/H)-e^(-ηx/H)]/2=ash(x/a)
即 已知悬链线的线密度η 质量m 长度s中的任意两个和两悬点间的距离2x0
便可以知道全部信息
分析:
对于一条悬链线 Q(x0) 若截取-x1~x1 的部分将两端点改为新的悬点 且位置不变 则这部分悬链线的形状不变 各点张力不变 而此时悬点所受的力T(x1)等于原状态时x1处绳子的张力
所以要求绳子各处张力只需先通过测量计算确定a的值
再求各点张力即可
谢谢
如本题图所示,在两根登高的立柱之间悬挂均匀重绳AB.绳中点C处的张力比它本身的重量大小如何 试分析这与悬点的角度θ有什么关系.
将绳子从中间分开只研究左半边,从整体受力来分析这半段绳只受竖直向下的重力G和与竖直方向夹角为θ的柱的支持力T以及最低点的右半段绳子给的水平向右的张力H,三个力平衡.
所以 Tcosθ=G Tsinθ=H 即 H=Gtanθ
两个问题都可以解决了
但是 θ角的大小与什么有关 绳子各点的张力大小又如何呢
首先判断其函数表达式 看起来像抛物线 吊根线验证一下 画出各点切线
-2.38 1
斜率
位置1.7 0.9 0.6 0 -0.6 -1 7 6 5 4 3 2
虽然存在误差 但看来好像不是二次函数 只好计算一下 我们只关注其左半段
最低点处受水平向右的拉力H,左悬挂点处受一个斜向上的拉力T,
设T和水平方向夹角为θ,绳子一半的质量为m,
受力分析有: Tsinθ=mg Tcosθ=H, tanθ=dy/dx=mg/H; mg= η s;
其中s是左半段绳子的长度,η是绳子密度,
dy/dx=η s/H; s=∫√(1+dy^2/dx^2)*dx;
所以dy/dx= η ∫√(1+dy^2/dx^2)*dx/H 令p=dy/dx
p'= (η/H)*√(1+p^2)=dp/dx 得∫dp/√(1+p^2)=∫η/H*dx
得ln[p+√(1+p^2)]=ηx/H+C 当x=0时 dy/dx=p=0 得C=0
整理得ln[p+√(1+p^2)]=ηx/H 1+p^2=e^(2ηx/H)-2pe^(ηx/H)+p^2
即p=[e^(ηx/H)-e^(-ηx/H)]/2=dy/dx 得y=H/(2η)*[e^(ηx/H)+e^(-ηx/H)]
令a=H/η 则y=a* [e^(x/a)+e^(-x/a)]/2= a*cosh(x/a).
这样悬链线的坐标方程就确定了
由tanθ=dy/dx=mg/H=η s/H 和p=[e^(ηx/H)-e^(-ηx/H)]/2=dy/dx
可知 s=(H/η)[e^(ηx/H)-e^(-ηx/H)]/2=ash(x/a)
于是现有等式
Tsinθ=mg Tcosθ=H tanθ=dy/dx=mg/H=ηs/H
p=[e^(ηx/H)-e^(-ηx/H)]/2=sh(x/a) s=(H/η)[e^(ηx/H)-e^(-ηx/H)]/2=ash(x/a)
即 已知悬链线的线密度η 质量m 长度s中的任意两个和两悬点间的距离2x0
便可以知道全部信息
分析:
对于一条悬链线 Q(x0) 若截取-x1~x1 的部分将两端点改为新的悬点 且位置不变 则这部分悬链线的形状不变 各点张力不变 而此时悬点所受的力T(x1)等于原状态时x1处绳子的张力
所以要求绳子各处张力只需先通过测量计算确定a的值
再求各点张力即可
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