不对称圆形电缆成缆外径及空隙面积的计算通常采用图解曲线法或经验系数法，均受人为因素及其在作图、读图时准确度的影响，很难保证计算结构的精确度，从而导致成缆模具大小和各空隙填充根数选择不当，引起成缆芯不圆整、填充过多或过少、甚至出现成缆模具过小而损伤绝缘线芯的现象，同时对材料消耗定额也会造成一定误差。 

为精确计算“三大二小”等非对称缆芯的成缆外径与空隙面积，我们查阅了很多关于不对称圆形电缆成缆外径和间隙面积的计算方法与公式并进行分析，绘制出不对称圆形电缆缆芯的截面如图1所示，利用三角函数原理推导出成缆外径和空隙面积与绝缘线芯直径之间较为复杂的关系方程组，对此关系方程组进行认真分析后发现有多组方程解，应用解方程组的方法要想找出其中具有实际应用价值的解是非常困难。
Excel除了可以做一些一般的计算工作外，更可以做许多的分析工作。例如，使用Excel的单变量求解、规划求解均可以求解最佳值。

Excel的目标搜索，可用来寻找要达到目标时，需要有怎样的条件等等。假设分析是指模型中某一变量的值、某一语句或语句组发生变化后, 所求得的模型解与原模型的比较分析。也就是说, 系统允许用户提问“如果…”, 系统回答“怎么样…”，这是手工所无法做到的。应用计算机工具，Microsoft Excel中利用单变量求解原理将使方程组的解答过程变得较为简单。在Excel中建立计算模型后仅需输入大、小绝缘线芯直径一次计算即可准确得知缆芯外径、边隙面积和中心空隙面积，并且对计算结果进行正确与否的验证。

图1 缆芯结构示意图

 
A：三大一小 B：三大二小C：四大一小

1 缆芯截面的几何原理

1.1“三大二小” 芯
由“三大二小”缆芯截面示意图可知：
中心填充面积=五边形ABCDE的面积-2×（扇形OAG的面积+扇形GBO的面积+扇形OBC的面积+扇形BCO的面积+扇形OCH的面积）……………………………………………………………………………………（1）
大芯间填充面积=扇形A1OB1的面积-2×△AOG的面积-2×扇形A1AG的面积………………………… （2） 大、小芯间填充面积=扇形B1OC1的面积-△BOC的面积-扇形B1BC的面积-扇形BCC1的面积…………（3）
小芯间填充面积=2×（扇形C1OI的面积-△COH的面积-扇形C1CH的面积）………………………… （4）
其中：
扇形GAO的面积=扇形GBO的面积=∠GAO÷2×r12
扇形OBC的面积=∠OBC÷2×r12
扇形BCO的面积=∠BCO÷2×r12
扇形OCH的面积=（π/2-∠COH）÷2×r12
扇形A1AG的面积=扇形B1BG的面积=（π/2-∠AOG）÷2×r12
扇形B1BC的面积=∠B1BC÷2×r12；=（∠BOC+∠BCO）÷2×r12
扇形C1CB的面积=∠C1CB÷2×r22=（π-∠BCO）÷2×r22
扇形C1CH的面积=∠C1CH÷2×r22=（π-∠OCH）÷2×r22=（π-（π÷2-∠COH））÷2×r22
△AOB的面积=2×△AOG的面积=AB×GO÷2=（2r1）×(r1×ctg∠AOG)÷2
△BOC的面积=BC×(OC×sin∠BCO)÷2=(r1+r2)×((R-r2)×sin∠BCO)÷2
COH的面积=CH×OH÷2=r2×((R-r2)×Sin∠OCH)÷2
扇形A1OB1的面积=∠AOB÷2×R2=∠AOC×R2
扇形B1OC1的面积=∠BOC÷2×R2
扇形C1OI的面积=∠COH÷2×R2

1.2“三大一小”芯和“四大一小”芯
“三大一小”芯和“四大一小”芯的缆芯截面几何原理并不困难，各部分的空隙面积可以对照缆芯截面示意图1中的A、C，参照“三大二小”的缆芯截面几何原理逐一推导出来。

2 列方程组、求解缆芯直径
围绕缆芯结构示意图进行三角函数关系推导后，可以得出求解缆芯直径所需的方程组如下：

2.1“三大一小”
4×r12÷(R-r1)-2×(R-r1)-((R-r1)2+(R-r2)2-(r1+r2)2)÷(2×(R-r2))=0……………………（5）

2.2“三大二小”
在三角形CBA中，∠BOC = arcsin(（R-r1）2+(R-r22)-(r1+r2)2÷2×(R-r1)×R-r2))……………（5）
在三角形COH中，∠COH = arcsin(r2÷(R-r2))………………………（6）
在三角形AOG中，∠AOG = arcsin(r1÷(R-r1))………………………（7）
另有：∠AOB+∠BOC+∠COH=π，2×∠AOG+∠BOC+∠COH=π………………………（8）

2.3“四大一小”
在三角形COD中，cos∠COD=((R-r1)2+(R-r2)2-(r1+r2)2)÷(2×(R-r2)) ……………………（9）
在三角形AOB中,sin∠AOB＝sin（∠AOC÷3）＝r1÷(R-r1) …………………………（10）
其中：R=OA1=OB1=OC1=缆芯半径（㎜）；r1=AG=BG=AA1=大芯半径（㎜）；r2=CH=CC1=小芯半径（㎜）。

3 应用计算机求解缆芯直径和各部分填充面积
上述方程组如果按照传统的计算方法求解，不仅难度很大，而且速度会很慢，尤其是对于“三大二小” 缆芯而言。在计算机已经相当普及的现在，利用Excel总的的单变量求解则上述方程显得非常简单，会取得事半功倍的效果。我们以“三大二小”为例，单变量求解的原理就是：要想计算结果正确，即缆芯面积＝空隙总面积＋绝缘芯面积，先假定成缆外径为某个数值，然后计算机会不断的调整假定值大小，直到完全满足条件为止。在Microsoft Excel中，利用计算机内部的函数功能按下述步骤建立模型文件。

在单元格A1中输入 “三大二小缆芯计算模型”
在单元格A2中输入“式1: COS∠BOC=((R-r1)2+(R-r2)2-(r1+r2)2)÷(2×(R-r2)×(R-r1))
式2：SIN（∠COD/2）=r2÷(R-r2)
式3：SIN（∠AOB/2）=r1÷(R-r1)
式4：2∠AOG+∠BOC+∠COH=π
其中：R—成缆外径；r1—大芯直径；r1—小芯直径；单位：mm ………（便于理解和记忆而设置）
在单元格A3中输入 “△AOB:∠ABO＝” ; 在单元格B3中输入 “=ACOS(B10/(B14-B10))”;
在单元格A4中输入 “△AOB:∠AOB＝” ; 在单元格B4中输入 “=PI()-B3*2”;
在单元格A5中输入 “△COB:∠BOC＝”; 在单元格B5中输入“=PI()-B4-E4”;
在单元格A6中输入 “△COB:∠BCO＝”;
在单元格B6中输入“=ACOS((POWER((B10/2+B11/2),2)+POWER((B14/2-B11/2),2)-POWER((B14/2-B10/2),2))/(2*(B10/2+B11/2)*(B14/2-B11/2)))”;
在单元格A7中输入 “△COB:∠OBC＝”; 在单元格B7中输入“=PI()-B5-B6”;
在单元格A8中输入 “扇形OCH的面积mm2=”; 在单元格B8中输入“=E3/2*POWER(B11/2,2)”;
在单元格A9中输入 “扇形C1CH的面积mm2=”; 在单元格B9中输入“=(PI()-E3)/2*POWER(B11/2,2)”;
在单元格C3中输入 “△COH：∠OCH=”; 在单元格E3中输入“=ACOS(B11/(B14-B11))”;
在单元格C4中输入 “△COH：∠COH=”; 在单元格E4中输入“=PI()/2-E3”;
在单元格C5中输入 “△COD的面积mm2=”; 在单元格E5中输入“=B11*SIN(E3)*(B14/2-B11/2)/2”;
依次再将△AOB、△COB的面积和扇形OCK、C1CK、A1OB1、B1OC1、D1OC1、D1OC1、GBB1、OBK、KBB1的面积照上述方式输入单元格C6～H9中。
在单元格A10中输入 “大芯直径d1=”; 在单元格A11中输入“小芯直径d2=”;
在单元格A12中输入 “过渡公式∠BOC=”; 在单元格B12中输入“=ACOS((POWER((B14-B10),2)+POWER((B14-B11),2)-POWER((B10+B11),2))/(2*(B14-B10)*(B14-B11)))”;
在单元格A13中输入 “单变量求解公式”;在单元格B13中编辑公式 “=B12+D12/2+2*ASIN(B10/2/(B14/2-B10/2))-PI()”;
在单元格A14中输入 “成缆外径D=”;
在单元格A15中输入 “缆芯面积-空隙总面积-绝缘芯面积=”; 在单元格B15中输入 “=ROUND(B14/2*B14/2*PI()-(D10+D11*2+D13*2+D14+(POWER(B10/2,2)*3+POWER(B11/2,2)*2)*PI()),2)”;
在单元格A16中输入 “验证结果：”; 在单元格B16中输入 “=IF(B15=0,C15,D15)”;
在单元格C10中输入“中心孔隙面积=”; 在单元格D10中输入 “=(E5/2+E6+E7)*2-(H6*4+H8*2+E8*2+B8*2)”;
在单元格C11中输入 “大芯间空隙面积=”; 在单元格D11中输入“=H3-E6-H7*2”;
在单元格C12中输入 “过渡公式∠COD=”; 在单元格D12中输入“=2*ASIN(B11/2/(B14/2-B11/2))”;
在单元格C13中输入 “大小芯间空隙面积=”; 在单元格D13中输入“=H4-E7-H9-E9”;
在单元格C14中输入 “小芯间空隙面积=”; 在单元格D14中输入“=H5-E5-B9*2”;
在单元格C15中输入 “正确！”; 在单元格D15中输入“错误！”;
至此，计算模型已基本建成。为了便于理解，可将“三大二小”缆芯截面示意图插入计算模型中；单元格A3～D9、A12～D12均属计算过程中所需的过渡内容，为了计算模型的美观可将所在行隐藏。最后形成如下图所示的模型：

建立模型的过程中，在单元格中引用函数功能编辑公式的格式必须正确。

利用函数功能建立好模型后，输入大、小芯绝缘线芯直径，考虑到方程组会有多组解值，甚至包括无效解值，需要对成缆外径赋予初值为大芯直径的两倍。然后对“=B14+D14/2+2*ASIN(B12/2/(B16/2-B12/2))-PI())”单元格B15进行单变量求解，并设定目标值为0、变量为单元格B14（成缆外径）且约束条件为大于两倍小于三倍的大芯绝缘线芯直径，运行后即可得出成缆外径D和各部分填充面积值。为了检验计算值的正确性，已在A15～D15单元格中输入验算条件“缆芯总面积-全部填充面积-全部绝缘线芯面积”，如果运算结果为0则说明正确，否则为错误。

“三大二小”芯电缆成缆外径计算值在此文中不一一列出，需要时即可按照上述方法计算得出。运算结果示例如：d1=40.0mm，d2=25.0mm→D=93.79mm，中心填充面积=508.5mm2，大、小芯间填充面积=246.9mm2，小芯间填充面积=113.9 mm2，大芯间填充面积=520.6 mm2，结果检验：π×(93.79×93.79)÷4-π×(40.0×40.0)÷4×3-π×(25.0×25.0)÷4×2-508.5-2×246.9-2×520.6-113.9=0.00 mm2。

4 结束语

单变量求解的原理是首先假定成缆外径为两倍的大芯直径，然后在约束条件内一点一点地调整变量值（D），直到完全满足规定的目标值及一系列的中间公式并检验正确。应用单变量求解计算“三大二小”芯电缆成缆外径和各部分填充面积，虽然三角函数关系复杂，推导时较麻烦，但第一次建立好Excel表格文件以后随时都可利用，而且运算速度非常快、非常准确。在此基础上，如果设置了PVC填充条直径、每根聚丙烯绳的填充面积，可以直接计算出各部分空隙的填充根数/直径。

准确的成缆外径、填充面积计算值不仅能够有效指导成缆配模、填充根数，有效避免配模偏大、偏小而导致缆芯松散、绝缘刮伤现象和填充过多、过少现象，对填充材料消耗定额计算也是一个准确的计算依据。

值得注意的是尽管理论计算结果非常准确，但在电缆生产过程中无论是成缆模具大小或填充根数均不一定完全遵照上述计算结果执行，必须根据实际情况进行调整。